Matemática básica Ejemplos

$\frac{a^{2} - 7 a - 18}{4 a^{3}} \div \frac{a^{2} - 4 a - 45}{2 a^{3} - 4 a^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Paso 1

Factoriza $a^{2} - 7 a - 18$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 9, 2$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{a^{2} - 4 a - 45}{2 a^{3} - 4 a^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Paso 2

Factoriza $a^{2} - 4 a - 45$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 45$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 9, 5$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{3} - 4 a^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Paso 3

Factoriza $2 a^{2}$ de $2 a^{3} - 4 a^{2}$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2 a^{2}$ de $2 a^{3}$ .

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a) - 4 a^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Paso 3.2

Factoriza $2 a^{2}$ de $- 4 a^{2}$ .

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a) + 2 a^{2} (- 2)} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Paso 3.3

Factoriza $2 a^{2}$ de $2 a^{2} (a) + 2 a^{2} (- 2)$ .

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Paso 4

Factoriza $a^{2} + 3 a - 10$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $3$ .

$- 2, 5$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} \cdot \frac{(a - 2) (a + 5)}{a^{2} - 4 a + 4}$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} \cdot \frac{(a - 2) (a + 5)}{a^{2} - 4 a + 2^{2}}$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} \cdot \frac{(a - 2) (a + 5)}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2}}$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 2$ .

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} \cdot \frac{(a - 2) (a + 5)}{{(a - 2)}^{2}}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combinar.

$\frac{\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} ((a - 2) (a + 5))}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} {(a - 2)}^{2}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $a - 2$ y ${(a - 2)}^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $a - 2$ de $\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} ((a - 2) (a + 5))$ .

$\frac{(a - 2) (\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (a + 5))}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} {(a - 2)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $a - 2$ de $\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} {(a - 2)}^{2}$ .

$\frac{(a - 2) (\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (a + 5))}{(a - 2) (\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2))}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 2) (\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (a + 5))}{(a - 2) (\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2))}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (a + 5)}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2)}$

Paso 6.3

Factoriza $\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}}$ de $\frac{\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (a + 5)}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2)}$ .

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \cdot \frac{a + 5}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2)}$

Paso 7

Factoriza $\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)}$ de $\frac{a + 5}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2)}$ .

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{2 a^{2} (a - 2)}{(a - 9) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a - 2})$

Paso 8

Cancela el factor común de $a - 2$ .

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Paso 8.1

Factoriza $a - 2$ de $2 a^{2} (a - 2)$ .

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{(a - 2) (2 a^{2})}{(a - 9) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a - 2})$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{(a - 2) (2 a^{2})}{(a - 9) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a - 2})$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{2 a^{2}}{(a - 9) (a + 5)} (a + 5))$

Paso 9

Cancela el factor común de $a + 5$ .

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Paso 9.1

Factoriza $a + 5$ de $(a - 9) (a + 5)$ .

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{2 a^{2}}{(a + 5) (a - 9)} (a + 5))$

Paso 9.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{2 a^{2}}{(a + 5) (a - 9)} (a + 5))$

Paso 9.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \cdot \frac{2 a^{2}}{a - 9}$

Paso 10

Cancela el factor común de $a - 9$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \cdot \frac{2 a^{2}}{a - 9}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a + 2}{4 a^{3}} (2 a^{2})$

Paso 11

Cancela el factor común de $2 a^{2}$ .

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Paso 11.1

Factoriza $2 a^{2}$ de $4 a^{3}$ .

$\frac{a + 2}{2 a^{2} (2 a)} (2 a^{2})$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{a + 2}{2 a^{2} (2 a)} (2 a^{2})$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a + 2}{2 a}$